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浅谈高中数学排列组合教学策略

时间:2021-01-21 人气:

  摘 要:高中数学在高中理科学科学习中占据着重要的地位,直接影响其他学科的学习。对高中生来说,排列组合在高中数学学习中是一个重难点,因为排列组合十分考验抽象思维能力和逻辑能力。题目的灵活性很高,解题方法多种多样,这不仅需要学生对知识的掌握充分还需要学生有良好的逻辑思维能力,对问题有较高的分析能力。在教学中数学教师需要提高学生的学习兴趣,指导学生更好的掌握和理解排列组合中的各种方法,巩固的过程中对题目进行变型提高学生的应变能力,从而提高学生的成绩。
  关键词:排列组合;高中数学;效率;情境;技巧;练习
  数学中的排列组合问题和我们的生活息息相关,而且排列组合要求学生有较强的逻辑思维能力。题目类型千变万化,灵活性很大,学生不容易掌握这部分知识点,自信心受到打击,学习兴趣也随着下降。因此教师需要将复杂的问题简单化,从生活中的事情入手,让同学对学习排列组合产生兴趣,然后总结做题技巧,教会学生如何化繁为简,提高知识水平,最后是开展针对性练习,在基础问题上加以变型来培养学生的应变能力。本文将从这三个方面进行具体阐述。
  一、设置问题情境,激发学生的学习兴趣
  提及数学很多学生会感到枯燥,甚至谈其色变,其实数学知识并非乏味,只是需要教师用心设计教学。排列组合和我们的生活密切相关,应用于生活中很多方面。比如彩票中奖概率问题、密码安全问题、城市绿化建设过程中植被景观的搭配问题等等。我们学习排列组合也是为我们大学后概率论的学习打基础,排列组合问题广泛应用于金融、计算机、统计学等领域,可以说排列组合的学习十分重要。
  排列组合问题的学习复杂且枯燥,同学们容易因为难度大而丧失学习兴趣。教师应该结合一些趣味性话题,在设置问题情境中巧妙引入排列组合问题,激发学生的学习兴趣。比如教师可以通过彩票问题切入,吸引学生学习排列组合。比如刮刮乐中有一种是通过看面值来判定是否中奖,那我买一张刮刮乐中奖的概率有多少。又比如学生对计算机感兴趣,教师也可以列举编程小问题吸引学生。
  笔者在实践教学中发现,通过生活中的问题来引入排列组合问题,可以增加排列组合学习的趣味性,学生的好奇心和探索欲望有利于更好地提高课堂效率。
  二、总结做题技巧,学会化繁为简
  排列组合问题就是由排列和组合两部分构成。解题方法很多,需要学生根据题目进行灵活选用,将一个复杂问题简单化,学会剥丝抽茧,拆分问题的细节,然后一步一步解决问题,最后达到快速高效解决问题的目的。在日常教学中教师应该给学生总结一些常规的做题技巧,提高学生的思维能力。下面笔者介绍几种常用的排列组合解题技巧。
  1.捆绑法
  捆绑法在排列组合问题中是比较常用的一种方法,主要应用于相邻问题的解决。我们先把规定的相邻元素捆绑在一起参与排列,当需要考虑元素的相对顺序时,再进行松绑。捆绑法常常和插空法结合起来使用。题目中常见的关键词语有相邻站位、相连、连续等。当学生在题干中看到这些词语的时候,要立马想到用捆绑法。下面举个例子详细说明一下。
  书架上有8本书,6本英文书和2本数学书,将书排在一列,2本数学书排在一起的情况有多少种?首先抓住题目中的关键词“相邻”,两本数学书要相邻放置,脑海中浮现捆绑法,将2本数学书看成一个整体捆绑在一起,第一步是对没有要求的元素进行排序,也就是6本英语书随意排序,有A(6,6)种方法,然然后将作为一个整体的两本数学书插空到6本英语书的7个空中,有C(7,1)中方法,接下来是将数学书进行解绑,两本数学书不同,所以排列也不同,有A(2,2)种方法,至此,整件事情完成。这是一个分步做的事情,所以是应用乘法原理,结果就是总共有A(6,6)×C(7,1)×A(2,2)=720×7×2=10080种方法。
  2.插空法
  插空法常用于解决“不相邻元素”的问题,先把题目中没有要求的元素进行排序,然后按照要求将不相邻的元素插空到排好的元素的间隙或两端的位置。运用插空法解决排列组合问题时,一定要注意不要遗忘“两端空位”。解题过程是“先排列,再插空”。值得注意的是捆绑法虽然和插空法经常一起使用,但是也存在差别,捆绑法主要解决相邻问题,而插空法对于不相邻的问题非常方便。学生需要仔细分析题目,选用恰当的方法进行分析。
  例如某道路旁有10盏路灯,为节约用电,准备关掉其中3盏。已知两端的路灯不能关,并且关掉的灯不能相邻,则有多少种不同的关灯方法?我们首先要读懂题干逻辑,自己进行变量转换,这道题目的意思就是说10盏灯中要选择关掉3盏,这3盏灯的位置要保证不相邻且不在两端,所以要排除使用捆绑法,转而考虑插空法,并且3盏灯是插空在不同的位置。所以就是我们要将3盏灯插空插到7盏亮的灯中间,而且插空位置不能在两端空位,那么就剩下6个空位来用来插空补充关掉的3盏灯,即有C(6,3)=20种方法。
  3.平均分组除法
  在排列组合中有很多都涉及到平均分配的问题,学生需要掌握好这个知识点,避免在解決问题中重复计算。总结平均分组除法问题有利于帮助同学在遇到类似问题的时候降低解题难度、提高解题效率。
  整体平均分组问题,比如说将6本书平均分配成三份。我们可以简单的看出这个问题在分配的时候是存在重复问题的,6本书我先随意抽出两本书放在一个盒子里,再抽出两本书放在一个盒子里,剩下的两本书放在第三个盒子里,那么就是有C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)种方法,但是我们是平均分成三份,就是说这三个盒子之间是没有差异的,我将第一份书放在第一个盒子里和将第一份书放在第二个盒子里是一个效果,那么我前面的方法中就有重复过程,所以我们还需要除以这个重复算法,即A(3,3)种方法,正确结果就是有种分法。这就是平均分法中的均分无分配对象问题。平均分后的组因为之间没有差别,不管它们的顺序如何都看成是一种情况。所以分组后要除以即m!,其中m表示组数。
  分组问题是一个很大问题,如果上题中是将这6本书分给甲乙丙三个人,那么就相当于是放进三个不同的盒子里,将第一份书分给甲和将第一份书分给乙是有区别的,也就不存在重复算法。这些差别都需要学生在题目中感受并加以归纳总结。
  三、开展针对性练习,培养学生应变能力
  高中数学的学习因其学科特点,离不开练习环节。在讲完相关解题技巧后,需要进行大量针对性的问题,进行知识的巩固和查漏补缺,让同学在自己解决习题的过程中进一步领会几种排列组合中的常用方法,同时也提高学生独立分析题目的能力,培养学生的应变能力。比如插空法和捆绑法在有些习题中容易搞混,学生在没有注意问题细节的情况下错误的使用方法最终得到错误的答案。在前面的插空法当中,如果将题目进行变型,关掉的3盏灯的位置可以相邻而且可以在两端又该怎么解决,这就需要同学们熟练地掌握捆绑法和插空法,我们可以分类讨论:3盏灯相邻,2盏灯相邻、剩下1盏灯不相邻,3盏灯都不相邻。然后分别算出这三种情况并累加。或者我们还可以从另一个角度灵活地看待这个问题,我们将3盏要关掉的灯看做是没有要求的元素,将7盏不关掉的灯中的每一盏灯都随意插空到3盏灯的4个空位中,每盏灯都有4个空位选择。
  总结:排列组合问题一直是课堂教学中的重点和难点,解题方法很多,需要同学们对几种常见方法牢牢掌握,然后做题的时候根据题意,选择最适合自己的解决方法。当然,在教学中需要数学教师不断创新教学方法,在设置问题情境中可以用生活中常见的例子来提高同学对排列组合问题的兴趣,讲解完相关解题技巧后还应该注意开发同学的思维能力,对题目进行适当的变型,培养学生举一反三的能力,让学生学会灵活应变。在注重知识传授的同时也应该注重因材施教,促进学生数学学习的全面发展。
  参考文献
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