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妙用椭圆积分计算单摆周期

时间:2021-03-16 人气:

  摘 要:根据2003年颁布的《普通高中物理课程标准(实验)》对单摆周期公式的要求:(1)通过实验,定性探究单摆的周期与摆长的关系;(2)知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。根据这一标准,不要求对单摆的周期公式进行推导。作为新课程实施教学的一线教师,对单摆周期公式的推导过程要知其所以然,才能对学生实施更好的教学。笔者用数学分析中的椭圆积分进行推导,供大家教学中参考。
  关键词:新课程;单摆周期;推导过程;椭圆积分
  山东科学科技出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《物理》选修3—4第一章“单摆”这一节中,提出了单摆的周期与摆长l的平方根成正比,与重力加速度g的平方根成反比,与振幅、摆球的质量无关,并确定了单摆的周期公式T,这些课本只用了一句话代过,却没有特别地加以说明,笔者也翻阅了其他版本的教材,大部分教材都没有对此公式进行推导证明,只有一小部分辅导材料用了简谐振动的微分方程进行推导,推导过程中计算相对会复杂一些,就这问题笔者用数学分析中的椭圆积分进行推导,供大家教学中参考。
  如图1所示,由一根不可伸长、不计质量的绳长为l,一端固定,,另一端系质量为m的小球组成的单摆,O点为摆的平衡位置。
  为了研究摆动的一般规律,设单摆的最大摆角为α,当摆角为θ时,速度大小为v,此时摆球的动能为,重力势能为(取最低点O重力势能为0),根据机械能守恒定律(不考虑空气阻力)有:
  (其中C为常数)(1)
  根據边界条件:(α为单摆的最大摆角),代入(1)式可得常数,故(1)式可转化为
  (2)
  又,代入(2)中可得:
  (3)
  两边开根号可得:
  又
  所以:(4)
  根据(4),若从平衡位置O点算起,从O点到P所需的时间t可表示为
  (5)
  由于θ范围未知,可作如下代换
  两边微分:
  即(5)式可作如下转换
  (6)
  (在《数学分析》中将类型的积分,称为第一类椭圆积分)
  这时候我们注意到刚才做的代换:
  当θ=α时,;当θ=0时,φ=0;所以
  所以周期公式可以表示为:
  (7)
  由(7)可以看出,只有当α很小时,,
  从而有:
  通常说的单摆是指一般非线性摆在摆角振幅很小时的情形。等时摆,周期与振幅的大小无关,是一种理想的模型。
  参考文献
  [1]《中学新课标资源库(物理卷)》,北京工业大学出版社,教育部《基础教育课程》编辑部组织编写。
  [2]《数学分析》第二版,高等教育出版社,复旦大学数学系陈传璋、金福临、朱学炎、欧阳光中编。

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