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例谈高中数学中函数的解题思路

时间:2021-03-17 人气:

  摘 要:函数贯彻整个高中数学,是高中数学的重点内容,因题型复杂多变,较为抽象,解题难度较大,是各类测试中失分较严重的题型。教学实践中,教师应通过讲解具体例题,传授不同函数题型的解题思路,帮助学生迅速找到解题突破口,提高函数题型的解题水平与效率。
  关键词:高中数学;函数;解题思路
  高中数学函数解题思路较多,包括分离参数法、换元法、数形结合法。为使学生灵活应用这些解题方法,顺利、正确解答高中函数试题,提高函数试题解题能力,教师应详细列出相关题型的解题步骤,使学生深刻感受、领悟,彻底掌握。
  1.分离参数法解题
  解答函数恒成立试题时,部分题型可將参数分离出来,而后求解另一边函数式的最大值或最小值,此时要想恒成立,则需满足参数小于函数式的最小值或大于函数式的最大值即可。
  例1:已知f(x)为定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x4。如果f(x+t)≤4f(x)在x∈[1,16]上恒成立,则实数t的最大值为_____。
  分析:解答该题目时需要利用已知条件,将函数中的“括号”去掉,而后通过分离参数法进行求解,具体解题过程为:
  ∵当x>0时,f(x)=x4,即,在(0,+∞)上单调递增
  又∵f(x)为R上的奇函数,因此,f(x)在R上为单调递增函数。
  又∵4f(x)=f(x),即,f(x+t)≤4f(x)等价于f(x+t)≤f(x)
  则只要求出x+t≤x,在x∈[1,16]上恒成立即可。分离参数得t≤(-1)x
  显然只要t小于等于(-1)x的最小值即可,显然当x=1时(-1)x取得最小值-1,因此,t的最大值是-1。
  2.换元法解题
  通过换元可将复杂的函数式化成简单的参数,不仅更加容易利用所学,而且计算的复杂度大大降低,明显提升解题效率,因此,教学实践中,教师应注重换元法的应用讲解,使学生彻底掌握,灵活应用。
  例2:已知函数f(x)=4x-m·2x+1,若存在实数x0,使得f(-x0)=-f(x0)成立,则实数m的取值范围是___。
  分析:解答该题时,先根据函数表达式代入实数x0,而后研究代入x0后的表达式,采用换元法最终求解。
  假设存在实数x0,满足f(-x0)=-f(x0)成立则
  因此,+4x0=2m(+2x0),令t=2x0(t>0),则+t2=2m(+t)令λ=+t(λ≥2),因此,2m=λ-,令g(λ)=λ-,分析得知g(λ)在[2,+∞)为增函数,则2m≥g(2)=1,因此,m≥。
  3.数形结合法解题
  解答高中函数试题时,借助相关图形,可直观的观察出参数之间的关系,进行简单计算便可得出正确结果,解题效率明显提高,因此,教学实践中,教师应引导学生利用数学结合法解题,使学生养成使用数形结合法解答函数试题的良好习惯。
  例3:已知函数f(x)满足f(x)1=,当x∈[0,1]时,f(x)=x。若在区间(-1,1]上g(x)=f(x)-mx-2m的图像和x轴有两个交点,,则m的取值范围为:____。
  分析:解答该题目时,根据已知条件求解出f(x)的表达式,而后利用数形结合法,得出函数图像间的关系,经过分析便可得出结果。
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