高考杂志

探析高中数学解题中数形结合思想的应用

时间:2021-03-27 人气:

  摘 要:近些年随着课程改革的推行,高中阶段对于数学思想方法的教学日益被重视,其中试题中对数形结合思想的考查比重凸显。数形结合作为直观想象这一数学素养培养的重要组成,在解决数学问题过程中发挥着重要的作用。“以形助数,以数释形”,可以大大提高学生的数学知识理解能力,这是进行数学推理、构建抽象结构的思维基础,探析数形结合思想在高中数学解题中的应用,可以大大提高学生的解题能力。
  关键词:数形结合;高中数学;解题应用
  一、研究背景
  传统的教学注重对学生“基础知识”和“基本技能”的训练,学生靠刷题短期地提高自身的解题能力,但是未能真正的理解知识的本质,过分依赖做题的经验,导致解决试卷以外的数学问题能力薄弱,数学的素养并未真正的形成。新课程理念提出在原有“双基”的基础上增加“基本思想”、“基本活動经验”的教学,旨在培养学生形成终生受用的数学思维方式,能够自觉地用数学的思想方法指导生活,拥有坚定的数学视角。数学的基本思想是指对数学概念、知识结构、数学解题方法本质性的认识,它蕴含知识的形成发展以及知识间的本质关联,是对“双基”更高层次的抽象和概括,是学生更高阶的数学素养,在解题中渗透数学思想的培养,可以让学生形成有规律、有逻辑顺序、有门类地解题习惯,让学生不仅能适应新高考的试题类型,而且还可以提高学生在实际情境中运用数学解决问题的能力。
  二、概念界定及应用策略
  (一)概念界定
  “数缺形时少直观,形少数时难入微”,说的就是数与形二者的关系。数形结合思想指的就是根据数与形之间的关联,利用数的特征或者形的特征进行问题解决的基本数学思维。图形具有直观的特点,从图形中可以快速地发现物体的位置关系和空间形式,一些变化规律和动态感官,也可以在图形中得到最为直接的感知。数主要是指数量关系和代数运算,它是进行定量分析、逻辑推理、形式转变的重要数学构成。数形结合一方面是指把代数结构图形化,利用图形描述分析问题,让问题更直观,从而找到解决问题的方法或是捷径;另一方面是指用数表达或运算推理精细表达几何要素,一些无法通过画图完成的抽象过程,可以通过数来进行规律观察、推演探究,从而得到图形的相关性质。
  (二)应用策略
  强基策略,不论是对数的使用还是对图形的应用,都需要扎实的“双基”作为前提,所以在谈“基本思想”这一层目标之前对于学生的知识与技能训练是必不可少的,比如强化学生的数式运算与结构变形,提高学生的识图画图能力;简化策略,数形结合思想使用的情境大部分是在当数式结构复杂,数据繁多,几何特征明显时,用几何直观来快速表征问题,当图形难以描绘,不宜通过观察图形得到精细化的图形性质和相关结论,那么就需要用数来进行推演和论证,数式结构中的符号使用,可以让思维外显,从复杂的图形结构里简化出主体特征,突出重点;互换策略,在讲解习题时如遇到具有数形双重表征的例题,数形两方并无明显优劣,那么应注重引导学生一题多解,启发学生多个角度看待问题,不侧重任何一种方法,注重数形的互换,让学生在互换的过程中提高思维的发散性;准确性策略,用图形直观解题时,应该注意画出图形的准确性,图形的精度决定了思考的准确度,影响思考的方向,同样,用数就是为了精细准确地刻画图形,减少看图带来的误差,所以运算和推理应要准确无误。
  三、数形结合思想的应用探析
  (一)重视初高衔接,突显图形直观
  在初中数学教材中函数与曲线方程占比比较少,向量更是只字未提。主要是以数式运算为主,并且对于几何图形的研究占比较多,代数与几何的衔接点为数较少,从八年级上的乘法公式(平方差、完全平方公式)开始才着重把二者进行有机关联,到了八年下的《勾股定理》,以赵爽弦图为主的图形证明,才重点突出的体现数学结合的妙用。不过大部分时候几何直观和代数式子是割裂的。到了高中,数形结合思想的地位突出,不过主要的载体还是以函数图象、向量、直线曲线方程为主,极少有几何图形,,但是几何图形的直观性作用到了高中也不容忽视,有的时候简洁的图形结构就可以传达出定理公式的证明方法和思路,以均值不等式的证明为例:代数证明:(利用平方结构的非负性)
  几何证明:
  说明:图中四个大小相同的直角三角形,短直角边为a,长直角边为b,则斜边(大正方形的边长)为,大正方形的面积为S大=a2+b2,中间的小正形面积为S小=(b-a)2,四个直角三角形的面积和为S=2ab。
  1.从图形上可以直观看出S大≥S,所以a2+b2≥2ab;
  2.当S小=0时,即a=b时,S大=S
  初中把赵爽弦图用于勾股定理的证明,其实弦图里也蕴含了基本不等式----均值不等式。如果从学生熟悉的赵爽弦图作为课堂引入,不仅可以很好的完成知识的衔接和过渡,而且让学生对中国古代的文化有了更深的认识,从而提高解题时的文化涵养。
  (二)强化向量教学,注重双重身份
  向量具备数和形的双重属性,是数形结合的典范。向量是有向线段,它的几何表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质可以给抽象运算以直观解释,简洁明了。例如课本用向量证明了点到直线的距离公式,直线的斜率公式,两点间距离公式,比单纯的用几何图形简便通俗,用向量完成直线平行和垂直的证明,便捷性是几何无法比拟的,用向量研究空间几何,可以帮助我们减少由于空间想象力不足带来的解题能力薄弱等等。具体举两个例子,用以说明向量的数形双重身份给解题带来的新思路。
  1.用向量法证明余弦定理
  三角形的三边用向量a,b,c表示,则c=a+b.
  2.用向量解决几何证明
  例:正方形ABCD边长为4,F为BC边重点,E为CD上一点,若=,则=_________
  教学中用向量进行一些已证定理的再次证明,通过证法对比凸显数形结合思想的优越性,引导学生关注数学的思想方法给解题带来的帮助。另外,在使用向量解题的过程中要注重数与形身份的适时切换,避免只注重形而不注重数。

相关文档:
高考杂志2021年10期论文目录
高考杂志2021年9期论文目录