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关于求和型数列试题解析

时间:2021-04-13 人气:

  摘 要:通过对2019年浙江省数学高考数列题的呈现、赏析、解法探究、变式以及反思,给出些许教学启示,引导学生重视课本核心概念,重视通性通法,回归课本,以期对数学教学有所帮助。
  关键词:数列;经验总结;教学启示
  数列是高中数学的核心内容之一,具有丰富的内涵和外延,,它可以沟通函数、方程、不等式等内容之间的联系,常受到高考命题者的青睐。2019年第20题数列试题的设计返璞归真,重视对数学本质的挖掘,又在学科核心素养的考查上下了功夫。第20题(1)侧重考查数学运算,我们能够求出有限的前几项,总结规律,猜测数列的通项公式,也可以高屋建瓴从整体出发,发现规律,利用等差等比基本性质来解题;第20(2)实际和书本中的例题类似,考查通法通解,促使学生能够想到使用数学归纳法来解决这一类型的问题,考题指导我们要注重课本,不要被参考资料带偏跑道,教材乃本源。这也体现了数学学科的核心素养。对于今后的教学也提示我们可以多多“自编试题”源自于教材的试题。
  20.(本小题满分15分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3,数列{bn}满足:对每个成等比数列.
  (1)求数列{an},{bn}的通项公式;
  (2)记
  证明:
  参考答案:20.本题意在考查等差、等比定义及基本性质、涉及数列求和、数学归纳法知识。
  (1)设数列{an}的公差为d,由题意得,,得,所以即,因为三数成等比数列,因此.
  解得.所以.
  (2).
  下面数学归纳法证明:(i)当n=1时,c1=0<2,不等式成立;
  (ii)假设时不等式成立,
  即.那么,当n=k+1时,
  .
  即当n=k+1时不等式也成立.
  根据(i)和(ii),不等式对任意成立。
  上述为官方解答,第二问另有解法
  法二:数学归纳法证明+分析法
  (i)当n=1时,c1=0<2,不等式成立;
  (ii)假设时不等式成立,即.
  那么,当n=k+1时,
  欲证,
  只需证,
  即证:
  即证:
  显然成立。
  即当n=k+1时不等式也成立.
  根据(i)和(ii),不等式对任意成立。
  法三:放缩法
  从而
  面对这种a1+a2+…+anf(n))这种类型的题(其中a1+a2+…+an难以求和),那么我们可以采用数学归纳法、放缩法、分析法处理,而我们再来观察下例:
  例1:(1985全国)
  求证:
  分析:不等式形如,中间是数列之和,能否将左右两边的式子構造成数列之和,形成统一数列之和不等式:为前n项之和),
  即:
  要证:,只需证,
  其中
  又
  同理:
  ∴只需证明:
  证明:
  总结:形如的数列不等式证明的思维策略
  设Sn和Tn分别为数列{an}和{bn}的前n项和,显然,若,因为“同向不等式可加性”这一性质,则有Snf(0)=0
  成立。
  成立。
  若数列之和换成数列之积又如何?
  例1:(2006广东理21第2问)
  求证:
  分析:我们能否将证明形如的思维策略类比迁移过来呢?
  ,利用公式,b1=B1易得:,因此,我们只需证明
  证明:
  总结:形如的数列不等式证明的策略
  设An和Bn分别为数列{an}和{bn}的前n项积,显然,若,利用“不等式正数同向可乘”这一性质,则有.因此要证明不等式,如果记Bn=f(n)看作是数列{bn}的前n项积,则,b1=B1,那么只要证其通项满足即可。
  练习:(1998全国理25第(2)问)
  求证:
  教学启示:对于数列内容,我们必须重视概念,等差等比的性质就是通过概念推导出来的,性质就是概念的延展;我们也要重视平时教学中学生解题经验的积累,在不断反思中螺旋递进,以期达到量变导致质变,使学生具有独立发现、分析、总结问题,进而提出解决问题的方法,最终提升至思想方法的高度。当经验的不断积累同过迁移,进而能够多角度多方法转化,使自己的知识结构得以重组重构,达到更高层次,学生的学习效率得到真正的提升,也使得学生脱离题海,使我们的教学真正有效。
  参考文献
  [1]《2019年高考浙江省数学试题评析》浙江省嘉兴市第一中学特级教师.沈新权
  [2]《高考数学你真的掌握了吗?数列》张杨文主编
  [3]《用放缩法证明数列中的不等式》罗红雨《读写算》2019.9

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