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APOS理论视角下《函数的零点与方程的解》概念教

时间:2021-05-19 人气:

  摘 要:通过APOS 理论指出数学概念的获得要经历活动、程序、对象、图式四个阶段,为教学提供了理论依据.本文是基于APOS理论下《函数的零点与方程的解》的教学设计,旨在探讨如何更有效地促进学生学习数学概念。
  关键词:APOS 理论;概念教学;教学设计
  一、APOS理论概述
  美国数学教育家杜宾斯基(Ed Dubinsky) 等人提出了APOS理论,它阐述的是:个体在解决所感知的数学问题中获得数学知识的过程,依序建立了心理活动(Action)、程序(Process)和对象(Object),最后形成了图式结构(Scheme),取这4个阶段英文单词的首字母,称其为APOS理论,APOS 理论是对皮亚杰的反思抽象的一种扩展。首先“活动”是个体通过一步一步地外显性的指令去变换一个客观的数学对象,以感受数学概念;“程序”阶段,是在“活动”被个体熟悉后,内化为一种被称为“程序”的心理操作,对概念的抽象化和符号化;当个体能够把“程序”当做一个整体进行操作时,这一程序就变成了一种心理“对象”;而数学概念的“图式”是指由相应的“活动”、“过程”、“对象”以及与某些一般原理相联系的其他“图式”所形成的一种个体头脑中的认知框架,它可以用于解决与这个概念相关的问题。
  二、基于APOS 理论的教学教学设计
  APOS理论是依据数学学科特点建立的教学理论,不仅揭示了学生在学习中构建数学概念的层次,而且为教师的数学教学提供了具体的教学策略。下面以人教版高中必修第一册《函数的零点与方程的解》的教学设计为例来说明。
  (一)活动阶段——感知函数零点,从特殊到一般
  “活动”是指个体通过一步一步的外显性指令去变换一个客观的数学对象,即通过对简单的一次函数图象与x轴交点和对应方程的解关系的思考来感受函数零点的定义,从而自然地得到函数零点的定义,对函数零点的判断有初步的理解,故可教学设计如下:
  问1:y=2x-3表示什么?(函数)
  问2:这个函数图象能否画出?
  注:师画出函数y=2x-3图象为一直线,与x轴交点坐标为 (3/2,0)
  问3:3/2怎么来的?
  (令y=0,即2x-3=0,则x=3/2(板书))
  师:3/2是方程2x-3=0的解,是函数y=2x-3图象与x轴交点的横坐标,也使得函数值为零,我们称为函数的零点.这就是今天要学的函数的零点与方程的解(点题,板书)
  (二)程序阶段——形成函数零点的一般化定义
  “程序”阶段,是在“活动”被个体熟悉后,内化为一种被称为“程序”的心理操作。即是对零点概念的抽象化,符号化,从特殊的一次函数拓展到一般的函数,真正理解零点的定义,并能对函数零点,函数图象与x轴交点横坐标,以及方程的解之间进行转化,形成类似于“程序”的反应,具体设计如下:
  (接上面对零点的理解,可将其一般化)
  问1:对于一般的函数f (x),其零点该怎么定义?
  定义:对于函数f (x),我们把使f (x)=0的实数x叫做函数y=f (x)的零点。
  问2:从函数图象上怎么描述函数的零点?
  师:函数y=f (x)的零点就是方程f (x)=0的实数解,就是函数y=f (x)的图象与x轴交点的横坐标。
  师:函数零点是使函数值为零的实数x,不是点坐标。判断一个函数是否存在零点,可转化为看对应方程的根的情况,也可转化为函数图象与x轴交点的情况。三者可相互转化,零点的个数就是根的个数,也是交点的个数。
  问3:方程lnx+2x-6=0是否有根?
  分析:方程lnx+2x-6=0为超越方程,学生并不会求解,因而无法直接求方程的根来判断是否有根,此时考虑利用该方程对应函数是否存在零点以求解.然而函數f (x)=lnx+2x-6其图像,学生又不会做,只能通过描点作图的方法进行大致估算,,那么有无更优的求解方法呢?
  (三)对象阶段——深化理解函数零点的判定
  当个体能够把“程序”当做一个整体进行操作时,这一程序就变成了一种心理“对象”。由此探究函数零点存在的判定,并对定理进行辨析,此时“程序”已经被“压缩”成一种“对象”,即已要求学生把函数零点当成对象,深化理解函数零点的判定。具体教学设计如下:
  问1(探究):函数y=f (x)在区间[a,b]内是否存在零点?(以曲线代表函数图象,动手画一画,函数必须满足什么条件才一定会有零点?)
  分析:(1)当函数图象的两个端点在同侧时,即两个函数值分居x轴同一侧(f (a) f (b)>0)能否满足?
  (2)当函数图象的两个端点在异侧时,即两个函数值分居x轴上下两侧( f (a) f (b) 相关文档:
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