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应用几何画板进行立体几何的探究

时间:2021-06-23 人气:

  摘 要:本文是由一道截面问题的立几题引出,运用几何画板探究并发现了一个普遍的结论:所有平行于平行六面体底面对角线的截面中,当截面经过侧棱中点时,,所得截面面积最大。
  关键词:正方体;长方体;平行六面体;截面;棱中点;移动点
  立体几何要求学生具备较强的空间感和想象能力,尤其当立几中出现“动态”问题时,就更为复杂;利用几何画板,通过动静结合的交互演示,不但可以使立几学起来变得更直观,而且还可以探究疑难问题。
  一、问题初探:一道立几题的启示
  首先,我们来看一道经常出现在高中数学中的立几题:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求在所有平行于平面ACD1的截面中,截面面积何时最大?
  解:如图1,当截面交于DD1边时,可知截面为一正三角形,此时显然△MNP的面积比△AD1C的面积小。当截面交于边BB1时,此时,截得的平面图形为一正三角形,且其面积比△AD1C面积小。当截面交于AA1时,截面为一六边形,下面来求其面积.
  设ED1=a,AA1=L,可求得EJ=FG=IH=a,
  EF=IJ=HJ=(L-a)
  图1如图2,作出其平面图形,易证得EF与JI
  所成角为60°,△EOJ≌△ENJ≌△FLG,
  四边形LGHI为平行四边形
  ∴S六边形EJIHGF=S△OFI+S平行四边形LGHI=(L)2+
  (L-a)×a=
  ∴当a=时,有Smax=L2,即当点F为棱AA1的中点时,截得的平面图形的面积最大。
  所以,在正方体中,所有平行于体对角面的截面中,当截在棱的中点处时,所得的截面面积最大。
  二、问题的进一步探究:
  猜想1:在正方体中能得出这样的结论,那么在长方体中是否也有这样的结论?
  下面,笔者利用几何画板作为研究工具来探讨这一猜想:
  如图3,当截面截于棱DD1,BB1时,截面为三角形,显然面积不是最大。
  可以用几何画板来讨论截面截于棱AA1时的面积,下面是操作过程:
  (1)利用几何画板作出一长方体,连接D一、,AC,CD1,A1C1,C1B
  (2)在棱AA1上任取一点F,过F作FG∥A1B交AB于G,过G作GH∥AC交BC于H,过H作HM∥BC1交CC1于M,过M作MN∥CD1交C1D1于N,过N作NE∥A1C1交A1D1于E,连EF,并且隐藏直线FG,GH,HM,MN,EN,并用线段分别连结E,F,G,H,M,N,E点,通过计算出六边形各边的长度和各个夹角,作出一个正对着的六边形O1O2O3O4O5O6
  (3)AA1取的中点O,并作出由F→O的移动按钮。
  拖动F点,使截面位置不断变化,截得的图形非常直观,我们容易发现六边形面积显然大于三角形ACD1的面积,在拖动F点的过程中,当F向O点靠近时,六边形面积变大,到O点时面积最大,而这时的面积与双击移动按钮所得的六边形面积一样大。(证明见平行六面体的证明)
  猜想2:在一般平行六面体中的情况又是怎样呢?
  我们同样借助几何畫板来研究。作法同上:拖动F点观察六边形的面积变化,可以看出当F在Q点时面积最大,此时的面积与双击按钮时多边形的面积相等.
  证明:如图5,设D1K=x,A1D1=a,AD1=m,CD1=n,AA1=c,A1B1=b,∠OQP=φ,A1K=a-x,由△A1KE∽△A1D一、得,EK=(a-x),由△A1KE∽△D1KQ得QK=。同理,利用相似三角形知识可求得:QK=EO=HG=,QI=EF=HP=,EA=HC=QD1=,OQ=m(1+),PQ=n(1+),
  当截面截于AA1时:
  S(X)=
  
  当截于DD1或BB1时:S(x)=mt·ntsinφ,t为一比例系数0≤t≤1
  ∴当,即x=a时,有S(X)max=
  同样,在平行六面体中,用平行于体对角面的平面去截平行六面体,当截面经过棱的中点时,所得的截面图形的面积最大。
  三、问题的深入探讨:
  猜想3:若截面平行于底面对角线时,情况又是怎样?
  作法:
  ①.如图6,作出平行六面体ABCD-A1B1C1D1,并且有的线段要用直线代替,在棱AA1上取一点F,在棱DD1上取一点I。
  ②.仿上例作出一平行于面A1C1I的截面FGHJKE。
  ③.拖动F点,作出不同的截面XYZ,截面EFXJK,截面FGHJKE,截面RFGHJ,截面RSW,并且作出其多边形内部,并用不同的颜色涂色,选中R、F、S、G,作其多边形内部,并涂色。
  ④.度量出上面的多边形的面积,取AA1的中点V,作一由F→V的移动按钮。
  拖动F点,可以发现当V与F重合时面积最大;变化I点的位置,再拖动F点会出现截面是平行四边形RFSJ的情况,同样是在中点处的截面面积最大。同时笔者进一步发现,无论F如何变化,平行四边形RFSJ的大小形状一直保持不变,可以看出所求的截面面积,就是平行四边形RFSJ夹在平行六面体ABCD-A1B1C1D1内部的面积,下面笔者利用这一发现来证明之。
  证明:如图7,由于上下底面的距离不变,所以EK与GH之间的距离不变,
  设RP=m,EK=a,FJ=b,RC=h,OB=n,则m+n=C(常数),由三角形相似可知OB=a,
  ∴S(X)=S平行四边形RFOJ-(S△REK+S△OHG)=bh-(ma+an)
  =bh-a(m+)=bh-a≤bh-=bh-,
  当且仅当m=n时,等号成立时,即R、O分别到上下底面的距离相等,此时点F为AA1的中点.
  ∴当c≠0时,截面为五边形或六边形,S(x)=bh-;截面为三角形时,S(X)=t·bh(0≤t≤)。
  当c=0时,截面为平形四边形,S(X)=bh.,此时点F在一段以V为中点的线段上移动均可得到一完整的平形四边形,面积最大。
  以上就是笔者运用几何画板得出的结论:所有平行于平行六面体底面对角线的截面中,当截面经过侧棱中点时,所得截面面积最大。
  参考文献
  [1]几何画板(软件),3.05版.人民教育出版社,1996.
  [2]几何画板参考手册.全国中小学计算机教育研究中心,1998,10.
  [3]戴佳珉、蔡纶.中学数学CAI教学软件的现状与思考.数学通报,1997,1.
  [4]陶维林.学习《几何画板》积极开展数学CAI的研究.数学通报,2000,4.

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