高考杂志

巧攻点P

时间:2021-07-10 人气:

  摘 要:立体几何与空间向量,空间向量是数学必修4“平面向量”在空间的推广,又是数学必修2“立体几何初步”的延续,努力使学生将运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题,体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一步发展空间想象能力和几何直观能力。立体几何在高考解答题中位于第二大题的位置,是学生必须掌握与突破的一个数学问题,但在求第二问的时候,学生总是迷茫,传统法无法入手,然而空间向量做的话,对于某一个点坐标没法求,从而得不到本题满分。从而对于关键点的计算,是值得我们研究。
  关键词:空间向量与立体几何;建系;关键点P;点坐标
  空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究,本章则侧重于定量研究)。空间向量的引入,为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
  明白其教育价值所在的同时,也很高兴能够有机会参加这次市调研课,使我在其中成长了许多也收获了许多。现在还能够回想起第一次讲公开课的场景,还能够想起与师傅一起探讨研究题目的情景,即使都很累了,晚上还要利用她的休息时间帮我去理清课的思路和设计课上的活动,在一遍一遍的试讲中,总算是能够找到公开课的样子。而当三年后的今天上市调研课的时候,有了一些自己的想法和这几年的从教经验,但是还是不够成熟,不是很成体系,与葛老师反反复复一次次的交谈之后,终于定下了我的初稿,和同仁们的一起磨课,在大家的帮助下才有这样一堂在于我看来近乎完美的课。下面我就来谈一下我这次课的感受。
  本节市调研课正继2018市模拟考试结束,根据两班(314,326)学生在本场考试各小题得分情况,得出这次立体几何解答题得分并不理想,总分15分,平均只有9.3分。翻阅各位学生的答题卷,发现问题几乎出现在第二小题,原因:1、底面是一个等边三角形的斜三棱锥,从而不知道如何建系;建立系的同学将PD作为Z轴,并没有和底面垂直,从而出错。2、系建立对了之后,关键点P坐标不会求。面对6月的高考,这两个问题必须解决,而且刻不容缓。于是借着诸暨市调研课这个契机,好好研究这个专题,看了百来个立体几何,寻找适合本班学生的题目,拿出来分析研究,让学生彻底解决这两个问题。
  本课是高考数学复习中的一个重要部分,是数学必修4“平面向量”在空间的推广,又是数学必修2“立体几何初步”的延续,努力使学生将运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题,体会向量方法在研究立体几何图形中的作用,进一步发展空间想象力和几何直观能力。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角。空间向量的引入,为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。因此必须为这一章开始一次有效的专题课,让学生更好的从整体认识到本章的重要性,以及关键点P如何求解的方式方法的总结和归纳。
  例题如下:
  (2016诸暨期末)如图,在四棱锥的一个侧面PAD为等边三角形,且平面PAD⊥底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,∠BCD=∠ADC=Rt∠P-ABCD,AD=2BC=2CD=2,E为PD的中点。
  (1)求证:CE//面PAB
  (2)求直线CD与平面PAB所成角的正弦值
  △PAD本例子中因为有明显的直角,所以学生很快就可以把系建立起来,又因为后面是一个垂直底面的平面PAD,所以关键点P的投影直接落在AD上,点P很快就可以知道坐标。这题还难不到我班在座的各位。于是将平面PAD向前或向后倾斜,使其不垂直于底面。引出BC//AD,CD⊥CD,PC=AD=2DC=2CB
  例2(2017浙江高考)如图,在四棱锥中P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,E为PD的中點。
  (1)求证:CE//面PAB
  (2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值
  本例中底面直角直接给出,X轴Y轴很容易表示,但是Z轴就不能靠在面PAD这个平面当中,于是就大胆地就将Z轴垂直向上。这样系是建好看了,但是问题也就出来了,关键点P该如何计算呢?对于这个关键点P的坐标我们很难找到在底面投影点的位置,有部分同学即使找到了也很难计算出点P的坐标,根本不适合我班的学生。于是我们放弃解决立体几何问题的传统方式方法,就纯粹地从向量的角度出发,直接假设点P坐标为(x,y,z),运用方程组的思想,三个未知量三个方程,去寻找有关于点P的三个关系,建立三元一次方程进行计算,从而得到点P。这样便突破了本题的最大难点,而且学生也容易接受这种解题技巧。这样的做法,思路上大大的简单化,寻找关系,这个关系可以是有关于点P的垂直、平行、距离、角度等等,但是对于第一次接触这种方式的学生,计算则难以接受,则需要课后的练习。我们再次回归到2018年的绍模试题,让之前做错的同学上来板演,即快又正确的得到结果,得到了老师的表扬与同学们的掌声。这是一个以前在学习数学方面极其没有自信的学生,,通过这节课后,那确立了自信,有了学习数学的信心和决心。
  再思考:
  如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC是等边三角形,O为AC的中点,PA=PC,二面角P-AC-B的大小为60°
  (1)求证:平面PBO⊥平面PAC
  (2)求直线AB与平面PAC所成角的正弦值
  最后以一题关键点P在OP上运动的题目加以巩固和加深,此点P并非是一个定点,而是带着参的一个动态过程,对于学生求面的法向量则是一个困惑。学生往往只会已知面中三点的坐标,得到两条相交直线的方向向量来求,带着参则无法求解,其实面的法向量只需垂直于平面,对于方向和长度并没有任何的限制,因此只需大胆的往下求,参量会删除的。
  在这整个研究过程中,我也看了百余题立体几何的题目,其实发现了很多共性。题目本身的出题方式,第一小题大都就是线面、面面的位置关系,证明平行、垂直等等。第二小题便是空间角的问题,以线面角居多;还有图形上的变化,底面由三角形延伸到四边形甚至很多的边形;侧面由垂直到倾斜,由三边到四边等的变化。它们都几乎逃不出底面和侧面具有公共边的等腰三角形,也就是说总是可以找到那样一个与底面的垂直的垂面,点P必将落于垂面与底面的交线上,都可以利用传统纯几何方式加以求解,当然这样方式比较难,不适合本班的学生,于是便只选择了用向量方式去解决问题,我班的学生能够更好的接受这类问题。

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